配点 : $600$ 点

問題文

$1$ 以上 $N$ 以下の整数からなる長さ $N$ の数列 $A = (A_1,A_2,\dots,A_N)$ および整数 $i\ (1\leq i \leq N)$ に対して、 長さ $10^{100}$ の数列 $B_i=(B_{i,1},B_{i,2},\dots,B_{i,10^{100}})$ を以下のように定義します。

• $B_{i,1}=i$
• $B_{i,j+1}=A_{B_{i,j}}\ (1\leq j<10^{100})$

また、$S_i$ を「数列 $B_i$ のなかでちょうど $1$ 度だけ出てくる数の種類数」と定義します。 より厳密には、$S_i$ は「$B_{i,j}=k$ を満たす $j\ (1\leq j\leq 10^{100})$ がちょうど $1$ つであるような $k$ の数」です。

整数 $N$ が与えられます。数列 $A$ として考えられるものは $N^N$ 通りありますが、それら全てに対して $\displaystyle \sum_{i=1}^{N} S_i$ を求め、 その総和を $M$ で割った余りを答えてください。

制約

• $1\leq N \leq 2\times 10^5$
• $10^8\leq M \leq 10^9$
• $N,M$ は整数

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

$N$ $M$

出力

答えを整数として出力せよ。

4 100000000

624

例として、$A=(2,3,3,4)$ の場合を考えます。

• $i=1$ のとき : $B_1=(1,2,3,3,3,\dots)$ となるから、$1$ 度だけ出てくる数は $1,2$ の $2$ つで、$S_1=2$
• $i=2$ のとき : $B_2=(2,3,3,3,\dots)$ となるから、$1$ 度だけ出てくる数は $2$ のみで、$S_2=1$
• $i=3$ のとき : $B_3=(3,3,3,\dots)$ となるから、$1$ 度だけ出てくる数は存在せず、$S_3=0$
• $i=4$ のとき : $B_4=(4,4,4,\dots)$ となるから、$1$ 度だけ出てくる数は存在せず、$S_4=0$

よって、$\displaystyle \sum_{i=1}^{N} S_i=2+1+0+0=3$ です。

他の $255$ 通りの $A$ に対しても同様に $\displaystyle \sum_{i=1}^{N} S_i$ を計算したうえで、 $256$ 通り全ての総和をとると $624$ になります。

7 1000000000

5817084

2023 998244353

737481389

総和を $M$ で割った余りを出力してください。

100000 353442899

271798911