【CSP-S 2019】Emiya家今天的饭
Emiya 是个擅长做菜的高中生，他共掌握 $n$ 种烹饪方法,且会使用 $m$ 种主要食材 做菜。为了方便叙述，我们对烹饪方法从 $1∼n$ 编号，对主要食材从 $1∼m$ 编号。
Emiya 做的每道菜都将使用恰好一种烹饪方法与恰好一种主要食材。更具体地， Emiya 会做 $a_{i,j}$ 道不同的使用烹饪方法 $i$ 和主要食材 $j$ 的菜 $(1 \leq i \leq n,1 \leq j \leq m)$，这也意味着 Emiya 总共会做 $\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} a_{i,j}$ 道不同的菜。
Emiya 今天要准备一桌饭招待 Yazid 和 Rin 这对好朋友，然而三个人对菜的搭配 有不同的要求，更具体地，对于一种包含 $k$ 道菜的搭配方案而言：
- Emiya 不会让大家饿肚子，所以将做至少一道菜，即 $k \geq 1$。
- Rin 希望品尝不同烹饪方法做出的菜，因此她要求每道菜的烹饪方法互不相同。
- Yazid 不希望品尝太多同一食材做出的菜，因此他要求每种主要食材至多在一半的菜（即 $\lfloor \frac{k}{2} \rfloor$ 道菜）中被使用
这里的 $\lfloor x \rfloor$ 为下取整函数，表示不超过 $x$ 的最大整数。
这些要求难不倒 Emiya，但他想知道共有多少种不同的符合要求的搭配方案。两种方案不同，当且仅当存在至少一道菜在一种方案中出现，而不在另一种方案中出现。
Emiya 找到了你，请你帮他计算，你只需要告诉他符合所有要求的搭配方案数对质数 $998,244,353$ 取模的结果。
输入格式
第 1 行两个用单个空格隔开的整数 $n,m$。
第 2 行至第 $n + 1$ 行，每行 $m$ 个用单个空格隔开的整数，其中第 $i + 1$ 行的 $m$ 个 数依次为 $a_{i,1},a_{i,2},...,a_{i,m}$。
输出格式
仅一行一个整数，表示所求方案数对 $998,244,353$ 取模的结果。
2 3
1 0 1
0 1 1
3
explanation
由于在这个样例中，对于每组 $i, j$，Emiya 都最多只会做一道菜，因此我们直接通 过给出烹饪方法、主要食材的编号来描述一道菜。
符合要求的方案包括：
- 做一道用烹饪方法 1、主要食材 1 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 2 的菜
- 做一道用烹饪方法 1、主要食材 1 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 3 的菜
- 做一道用烹饪方法 1、主要食材 3 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 2 的菜
因此输出结果为 3 mod 998,244,353 = 3。
需要注意的是，所有只包含一道菜的方案都是不符合要求的，因为唯一的主要食材 在超过一半的菜中出现，这不满足 Yazid 的要求。
3 3
1 2 3
4 5 0
6 0 0
190
explanation
Emiya 必须至少做 2 道菜。
做 2 道菜的符合要求的方案数为 100。
做 3 道菜的符合要求的方案数为 90。
因此符合要求的方案数为 100 + 90 = 190。
5 5
1 0 0 1 1
0 1 0 1 0
1 1 1 1 0
1 0 1 0 1
0 1 1 0 1
742
限制与约定
| 测试点编号 | $n \leq $ | $m \leq $ | $a_{i,j} <$ |
|---|---|---|---|
| $1$ | $2$ | $2$ | $2$ |
| $2$ | $3$ | ||
| $3$ | $5$ | $2$ | |
| $4$ | $3$ | ||
| $5$ | $10$ | $2$ | |
| $6$ | $3$ | ||
| $7$ | $2$ | $1000$ | |
| $8$ | $3$ | ||
| $9 \sim 12$ | $40$ | $2$ | |
| $13 \sim 16$ | $3$ | ||
| $17 \sim 21$ | $500$ | ||
| $22 \sim 25$ | $100$ | $2000$ | $998,244,353$ |
对于所有测试点，保证 $1 \leq n \leq 100，1 \leq m \leq 2000，0 \leq a_{i,j} < 998,244,353$。
时间限制: $1\texttt{s}$
空间限制: $256\texttt{MB}$