【NOI2015】小园丁与老司机
小园丁 Mr. S 负责看管一片田野，田野可以看作一个二维平面。田野上有 $n$ 棵许愿树，编号 $1,2,3, \dots, n$，每棵树可以看作平面上的一个点，其中第 $i$ 棵树 （$1 \leq i \leq n$） 位于坐标 $(x_i, y_i)$。任意两棵树的坐标均不相同。
老司机 Mr. P 从原点 $(0,0)$ 驾车出发，进行若干轮行动。每一轮，Mr. P 首先选择任意一个满足以下条件的方向：
- 为左、右、上、左上 $45^{\circ}$ 、右上 $45^{\circ}$ 五个方向之一。
- 沿此方向前进可以到达一棵他尚未许愿过的树。
完成选择后，Mr. P 沿该方向直线前进，必须到达该方向上距离最近的尚未许愿的树，在树下许愿并继续下一轮行动。如果没有满足条件的方向可供选择，则停止行动。他会采取最优策略，在尽可能多的树下许愿。若最优策略不唯一，可以选择任意一种。
不幸的是，小园丁 Mr. S 发现由于田野土质松软，老司机 Mr. P 的小汽车在每轮行进过程中，都会在田野上留下一条车辙印，一条车辙印可看作以两棵树（或原点和一棵树）为端点的一条线段。
在 Mr. P 之后，还有很多许愿者计划驾车来田野许愿，这些许愿者都会像 Mr. P 一样任选一种最优策略行动。Mr. S 认为非左右方向（即上、左上 $45^{\circ}$ 、右上 $45^{\circ}$ 三个方向）的车辙印很不美观，为了维护田野的形象，他打算租用一些轧路机，在这群许愿者到来之前夯实所有“可能留下非左右方向车辙印”的地面。
“可能留下非左右方向车辙印”的地面应当是田野上的若干条线段，其中每条线段都包含在某一种最优策略的行进路线中。每台轧路机都采取满足以下三个条件的工作模式：
- 从原点或任意一棵树出发。
- 只能向上、左上 $45^{\circ}$ 、右上 $45^{\circ}$ 三个方向之一移动，并且只能在树下改变方向或停止。
- 只能经过“可能留下非左右方向车辙印”的地面，但是同一块地面可以被多台轧路机经过。
现在 Mr. P 和 Mr. S 分别向你提出了一个问题:
- 请给 Mr .P 指出任意一条最优路线。
- 请告诉 Mr. S 最少需要租用多少台轧路机。
输入格式
输入文件的第 $1$ 行包含 $1$ 个正整数 $n$，表示许愿树的数量。
接下来 $n$ 行，第 $i + 1$ 行包含 $2$ 个整数 $x_i, y_i$，中间用单个空格隔开，表示第 $i$ 棵许愿树的坐标。
输出格式
输出文件包括 $3$ 行。
输出文件的第 $1$ 行输出 $1$ 个整数 $m$，表示 Mr. P 最多能在多少棵树下许愿。
输出文件的第 $2$ 行输出 $m$ 个整数，相邻整数之间用单个空格隔开，表示 Mr. P 应该依次在哪些树下许愿。
输出文件的第 $3$ 行输出 $1$ 个整数，表示 Mr. S 最少需要租用多少台轧路机。
6
-1 1
1 1
-2 2
0 8
0 9
0 10
3
2 1 3
3
最优路线 $2$ 条可许愿 $3$ 次：$(0,0) \rightarrow (1,1) \rightarrow (−1,1) \rightarrow (−2,2)$ 或 $(0,0) \rightarrow (0,8) \rightarrow (0,9) \rightarrow (0,10)$。 至少 $3$ 台轧路机，路线是 $(0,0) \rightarrow (1,1)$，$(−1,1) \rightarrow (−2,2)$ 和 $(0,0) \rightarrow (0,8) \rightarrow (0,9) \rightarrow (0,10)$。
4
0 1
-2 1
2 1
3 2
4
1 2 3 4
2
最优路线唯一：$(0,0) \rightarrow (0,1) \rightarrow (−2,1) \rightarrow (2,1) \rightarrow (3,2)$，可许愿 $4$ 次。其中在 $(0,1)$ 许愿后，从 $(−2,1)$ 出发沿着向右的方向能够到达的最近的未许愿过的树是 $(2,1)$，所以可以到达 $(2,1)$。
而如果沿着 $(0,0) \rightarrow (0,1) \rightarrow (2,1) \rightarrow (−2,1)$ 的方向前进，此时 $(−2,1)$ 右边所有树都是许愿过的，根据题目条件规定，停止前进。故无法获得最优解。
$(0,0) \rightarrow (0,1)$ 与 $(2,1) \rightarrow (3,2)$ 会留下非左右方向车辙印，需 $2$ 台轧路机。
样例三
见样例数据下载。
限制与约定
| 测试点编号 | $n$ 的规模 | $x_i, y_i$ 的规模 | 备注 |
|---|---|---|---|
| 1 | $n = 5$ | $\lvert x_i \rvert \leq 100$ $0 < y_i \leq 100$ | |
| 2 | $n = 10$ | ||
| 3 | $n = 100$ | $\lvert x_i \rvert \leq 10000$ $0 < y_i \leq 10000$ | |
| 4 | $n = 1000$ | ||
| 5 | $n = 5000$ | $\lvert x_i \rvert \leq 1000000$ $0 < y_i \leq 1000000$ | 保证最优路线唯一 |
| 6 | |||
| 7 | $n = 50000$ | ||
| 8 | $n = 5000$ | $\lvert x_i \rvert \leq 1000000$ $0 < y_i \leq 1000000$ | 保证 $y_i$ 互不相同 |
| 9 | $n = 50000$ | ||
| 10 | |||
| 11 | $n = 5000$ | $\lvert x_i \rvert \leq 1000000$ $0 < y_i \leq 1000000$ | 保证对于任意整数 $Y$，满足 $y_i = Y$ 的树不超过 $1000$ 棵 存在一种最优解，使得轧路机不重复经过同一路面 |
| 12 | |||
| 13 | $n = 50000$ | ||
| 14 | |||
| 15 | $n = 10000$ | $\lvert x_i \rvert \leq 1000000000$ $0 < y_i \leq 1000000000$ | 保证对于任意整数 $Y$，满足 $y_i = Y$ 的树不超过 $1000$ 棵 |
| 16 | |||
| 17 | $n = 30000$ | ||
| 18 | |||
| 19 | $n = 50000$ | ||
| 20 |
对于所有数据，$n \leq 50000$，$\lvert x_i \rvert \leq 1000000000$，$0 < y_i \leq 1000000000$。
时间限制：$1\texttt{s}$
空间限制：$512\texttt{MB}$
评分方式
对于每个测试点：
若输出文件的第 $1$ 行正确，得到该测试点 20% 的分数；
若输出文件的前两行正确，得到该测试点 40% 的分数；
若输出文件完全正确，得到该测试点 100% 的分数。