[北大集训 2021] 随机游走

ID: 12974

远端评测题

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难度: 6

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题目背景

CTT2021 D2T3

给定一张 $n$ 个点的有向图，点标号为 $1,2,\dots,n$ ，初始时对 $\forall i\in\{1,2,\dots,n-1\}$ ，从 $i$ 到 $i+1$ 有一条有向边。

你可以在其中再加入 $m$ 条有向边（起点终点任意），允许有重边和自环。

小 A 会从 $1$ 出发，以随机游走的形式行动，直到抵达 $n$ 。你希望最大化小 A 从 $1$ 移动到 $n$ 的期望步数。

定义随机游走是这样的一种移动方式：设小 A 当前在点 $x$ ， $x$ 有 $d$ 条出边，则小 A 会从这 $d$ 条出边中等概率随机选择一条走过去。

输入的第一行包含一个正整数 $T$ ，表示数据组数，保证 $T \le 10^5$ 。

接下来 $T$ 行，每行包含三个整数 $n,m,p$ ，分别表示有向图的点数、你添加的边数以及答案的模数，保证 $1 \leq n \leq 10^9$ ， $0 \leq m \leq 10^{18}$ ， $2\leq p\leq 10^9+7$ 且 $p$ 是质数。

输出 $T$ 行，第 $i$ 行一个整数 $ans$ 表示第 $i$ 组数据中最大的期望步数对 $p$ 取模后的值（可以证明答案是有理数，设其用最简分数表示为 $\frac{a}{b}$ ，则你需要满足 $ans \cdot b \bmod p=a$ ，保证这样的 $ans$ 存在）。

4
3 2 97
10 25 233
6 12345 2333
1000000000 1000000000000000000 1000000007

测试包编号	$n\le$	$m\le$	$T\le$	特殊性质	分数
$1$	$5$	$5$	$10$	无	$10$
$2$	$5$	$10^2$	$10$		$10$
$3$	$10^8$	$10^2$	$10^2$		$20$
$4$	$50$	$3,000$	$3$		$20$
$5$	$10^9$	$10^9$	$10^5$	$m<n-1$	$10$
$6$	$10^9$	$10^{18}$	$10^5$	无	$30$