2 条题解

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    @ 2025-3-30 16:44:29

    正文前提示

    题目传送门

    主要思路

    其实，就是在线段树 11 的基础上加上了一个乘法。

    具体做法

    Step 11：主函数逻辑

    读入 nn 个数，建树，接下来 qq 次操作，是 11 就将区间做乘法，是 22 就将区间做加法，是 33 就输出区间和。

    主要代码：

        LL n,q;
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&q,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&w[i]);
    }
    build(1,1,n);//建树
    while(q--){
        int op;
        scanf("%d",&op);
        if(op==1){
            LL x,y,k;
            scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&k);
            update(1,x,y,k,0);//从节点 1 开始，范围是 x ~ y，给每一个数乘 k，给每一个数加 0。
        }else if(op==2){
            LL x,y,k;
            scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&k);
            update(1,x,y,1,k);//从节点 1 开始，范围是 x ~ y，给每一个数乘 1，给每一个数加 k。
        }else{
            LL x,y;
            scanf("%lld%lld",&x,&y);
            printf("%lld\n",query(1,x,y));//从节点 1 开始，范围是 x ~ y，查询区间和。
        }
    }

    Step 22：建树

    先声明这个节点的范围是 l∼rl\sim r 的；其次，把这个节点的 sumsum 初值置为 wlw_l 或 wrw_r（你爱写哪个写哪个）；接着，把乘的懒标记赋好 11 的初值，加的懒标记赋好 00 的初值；然后，判断当前是否为叶子结点（ll 是不是等于 rr），如果是，返回，否则递归建立左右子树直到当前节点变成叶子结点为止；最后，把左右ㄦ子的 sumsum 累加到父亲那里去。

    主要代码：

    void pushup(LL p){
    tr[p].sum=(tr[lc].sum+tr[rc].sum)%m;//把左右ㄦ子的和都累加过来。
}
void build(LL p,LL l,LL r){
    tr[p]={l,r,w[r],1,0};
    if(l==r)return;
    LL mid=l+r>>1;
    build(lc,l,mid);
    build(rc,mid+1,r);
    pushup(p);
}

    Step 33：update（更新函数）逻辑

    首先，如果越界了，赶快返回；其次，如果当前节点范围完全覆盖需要更新的部分，使用 calc 函数更新线段树后立即返回；接着，下传懒标记；然后，更新左右ㄦ子；最后，把左右ㄦ子的 sumsum 累加到父亲那里去。特别强调！！！更新的范围和节点的范围是不一样的！更新的范围始终保持不变！！！

    这里讲一下 calc 函数怎么写。首先，这个函数是用来维护区间和和两个懒标记的。注意：需要先乘后加才能保证精度不丢失，因为先加后乘的话，新的 t.addt.add 就会是 t.add+addmult.add+\dfrac{add}{mul}，如果 addmul\dfrac{add}{mul} 不是整数，那么精度将丢失。子节点新的 t.mult.mul 为 t.mul×mult.mul \times mul，新的 t.addt.add 为 t.add×mul+addt.add\times mul+add。这里还得计算 t.sumt.sum。我们推出一个公式来计算它：$\left(x_l\times mul+add\right)+\cdots+\left(x_r\times mul+add\right)$，化简后就是：

    $$\begin{align} & \left(x_l\times mul+add\right)+\cdots+\left(x_r\times mul+add\right)\\ = & \left(x_l+\cdots+x_r\right)\times mul+\left(r-l+1\right) \times add\\ = & t.sum\times mul+\left(r-l+1\right) \times add \end{align} $$

    主要代码：

    void calc(node &t/*一定要传引用，不然无法修改 tr 数组*/,LL mul,LL add){
    t.sum=(t.sum*mul+(t.r-t.l+1)*add)%m;
    t.mul=t.mul*mul%m;      //⎫
//                             先乘后加，否则精度丢失
//                            ⎬新的 mul 为 mul × m，新的 add 为 add × m + a。
    t.add=(t.add*mul+add)%m;//⎭
}
void pushdown(LL p){//下传懒标记
    calc(tr[lc],tr[p].mul,tr[p].add);
    calc(tr[rc],tr[p].mul,tr[p].add);
    tr[p].mul=1;//⎫
//                 清空懒标记
//                ⎬
    tr[p].add=0;//⎭
}
void update(LL p,LL l,LL r,LL mul,LL add){
    if(tr[p].r<l||tr[p].l>r)return;//越界
    if(l<=tr[p].l&&tr[p].r<=r){//完全覆盖
        calc(tr[p],mul,add);
        return;
    }
    pushdown(p);
    update(lc,l,r,mul,add);
    update(rc,l,r,mul,add);
    pushup(p);
}

    Step 44：query 查询函数

    首先，如果越界了，赶快返回；接着，如果当前节点范围完全覆盖需要更新的部分，返回当前节点的 sumsum 值；然后，下传懒标记；最后，返回左ㄦ子的查询结果和右ㄦ子的查询结果的和。

    LL query(LL p,LL l,LL r){
    if(tr[p].r<l||tr[p].l>r)return 0;//越界
    if(l<=tr[p].l&&tr[p].r<=r){//完全覆盖
        return tr[p].sum%m;
    }
    pushdown(p);
    return (query(lc,l,r)+query(rc,l,r))%m;
}

    AC 代码：

    #include<iostream>
#include<stdio.h>
#define LL long long
#define lc p<<1   //左ㄦ子
#define rc p<<1|1 //右ㄦ子
using namespace std;
LL m,w[100005];
struct node{
    LL l,r,sum,mul,add;
}tr[400005];//大小是 w 数组的 4 倍。
void pushup(LL p){
    tr[p].sum=(tr[lc].sum+tr[rc].sum)%m;//把左右ㄦ子的和都累加过来。
}
void calc(node &t/*一定要传引用，不然无法修改 tr 数组*/,LL mul,LL add){
    t.sum=(t.sum*mul+(t.r-t.l+1)*add)%m;
    t.mul=t.mul*mul%m;      //⎫
//                             先乘后加，否则精度丢失
//                            ⎬新的 mul 为 mul × m，新的 add 为 add × m + a。
    t.add=(t.add*mul+add)%m;//⎭
}
void pushdown(LL p){//下传懒标记
    calc(tr[lc],tr[p].mul,tr[p].add);
    calc(tr[rc],tr[p].mul,tr[p].add);
    tr[p].mul=1;//⎫
//                 清空懒标记
//                ⎬
    tr[p].add=0;//⎭
}
void build(LL p,LL l,LL r){
    tr[p]={l,r,w[r],1,0};
    if(l==r)return;
    LL mid=l+r>>1;
    build(lc,l,mid);
    build(rc,mid+1,r);
    pushup(p);
}
void update(LL p,LL l,LL r,LL mul,LL add){
    if(tr[p].r<l||tr[p].l>r)return;//越界
    if(l<=tr[p].l&&tr[p].r<=r){//完全覆盖
        calc(tr[p],mul,add);
        return;
    }
    pushdown(p);
    update(lc,l,r,mul,add);
    update(rc,l,r,mul,add);
    pushup(p);
}
LL query(LL p,LL l,LL r){
    if(tr[p].r<l||tr[p].l>r)return 0;//越界
    if(l<=tr[p].l&&tr[p].r<=r){//完全覆盖
        return tr[p].sum%m;
    }
    pushdown(p);
    return (query(lc,l,r)+query(rc,l,r))%m;
}
int main(){
    LL n,q;
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&q,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&w[i]);
    }
    build(1,1,n);//建树
    while(q--){
        int op;
        scanf("%d",&op);
        if(op==1){
            LL x,y,k;
            scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&k);
            update(1,x,y,k,0);//从节点 1 开始，范围是 x ~ y，给每一个数乘 k，给每一个数加 0。
        }else if(op==2){
            LL x,y,k;
            scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&k);
            update(1,x,y,1,k);//从节点 1 开始，范围是 x ~ y，给每一个数乘 1，给每一个数加 k。
        }else{
            LL x,y;
            scanf("%lld%lld",&x,&y);
            printf("%lld\n",query(1,x,y));//从节点 1 开始，范围是 x ~ y，查询区间和。
        }
    }
    return 0;
}

    正文后闲话

    其实，这道题你想用暴力枚举过这道题也没问题，注意超时就行。

  • 0
    @ 2024-10-25 15:36:23

    注意先下传乘法标记再下传加法标记

    注意运算过程中爆int

    AC code：

    #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,q,mo;
const int N=1e5+7;
struct tree {
	int l,r,mul,add,key;
} t[N*4];
int a[N];
void update(const int p) {
	t[p].key=1ll*(t[p*2].key+t[p*2+1].key)%mo;
	return ;
}
void datedown(const int p) {
	if(t[p].add!=0||t[p].add!=1){
    t[p*2].key=(1ll*t[p*2].key*t[p].mul%mo+1ll*t[p].add*(t[p*2].r-t[p*2].l+1)%mo)%mo;
	t[p*2+1].key=(1ll*t[p*2+1].key*t[p].mul%mo+1ll*t[p].add*(t[p*2+1].r-t[p*2+1].l+1)%mo)%mo;

	t[p*2].add=1ll*t[p*2].add*t[p].mul%mo;
	t[p*2+1].add=1ll*t[p*2+1].add*t[p].mul%mo;

	t[p*2].mul=1ll*t[p*2].mul*t[p].mul%mo;
	t[p*2+1].mul=1ll*t[p*2+1].mul*t[p].mul%mo;

	t[p].mul=1;

	t[p*2].add+=1ll*t[p].add%mo;
	t[p*2+1].add+=1ll*t[p].add%mo;

    t[p].add=0;}
    return ;
}
void build(int l,int r,int p) {
	if(l==r) {
		t[p].l=t[p].r=l;
		t[p].key=a[l]%mo;
		t[p].mul=1;
		return ;
	}
    t[p].l=l,t[p].r=r;
    t[p].mul=1;
    int mid=(l+r)/2;
	build(l,mid,p*2),build(mid+1,r,p*2+1);
	update(p);
	return ;
}
void changea(int l,int r,int add,int p) {
	if(r<t[p].l||t[p].r<l)return ;
	if(l<=t[p].l&&t[p].r<=r) {
		t[p].key=(t[p].key+1ll*add*(t[p].r-t[p].l+1)%mo)%mo;
		t[p].add+=1ll*add%mo;
		return ;
	}
	datedown(p);
	int mid=(t[p].r+t[p].l)/2;
	if(l<=mid)changea(l,r,add,p*2);
	if(mid<r)changea(l,r,add,p*2+1);
	update(p);
	return ;
}
void changem(int l,int r,int mul,int p) {
	if(r<t[p].l||t[p].r<l)return ;
	if(l<=t[p].l&&t[p].r<=r) {
		t[p].key=1ll*t[p].key*mul%mo;
		t[p].add=1ll*t[p].add*mul%mo;
		t[p].mul=1ll*t[p].mul*mul%mo;
		return ;
	}
	datedown(p);
	int mid=(t[p].r+t[p].l)/2;
	if(l<=mid)changem(l,r,mul,p*2);
	if(mid<r)changem(l,r,mul,p*2+1);
	update(p);
	return ;
}
int check(int l,int r,int p) {
	if(r<t[p].l||t[p].r<l)return 0;
	if(l<=t[p].l&&t[p].r<=r) {
		return t[p].key%mo;
	}
	datedown(p);
	return (1ll*check(l,r,p*2)%mo+1ll*check(l,r,p*2+1)%mo)%mo;
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
	cin>>n>>q>>mo;
	for(int i=1; i<=n; i++)cin>>a[i];
	build(1,n,1);
	while(q--) {
		int opt;
		cin>>opt;
		switch(opt) {
			case 1: {
				int L,R,mul;
				cin>>L>>R>>mul;
				changem(L,R,mul,1);
				break;
			}
			case 2: {
				int L,R,add;
				cin>>L>>R>>add;
				changea(L,R,add,1);
				break;
			}
			default: {
				int L,R,ans;
				cin>>L>>R;
				ans=1ll*check(L,R,1)%mo;
				cout<<ans<<'\n';
				break;
			}
		}
	}
	return 0;
}
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    【模板】线段树 2

    信息

    ID
    7403
    时间
    1000ms
    内存
    125MiB
    难度
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