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题目描述

2048 是一个非常简单的数字游戏，它在 $4 \times 4$ 的棋盘上进行，通过移动来合并数字，达到 2048 即算胜利。
妹红最近沉迷上了这个游戏，事情传到辉夜那里后，辉夜决定用曾经无人破解的十道难题来考考妹红。

游戏规则：

1. 游戏在 $n\times m$ 的方格棋盘上进行。

2. 两个玩家，玩家 M 可以移动棋盘上的数字，另一个玩家 C 可以向棋盘上放数字。

3. 移动数字的规则如下：可以向上、下、左、右四个方向的其中之一移动。选定好方向后，所有数字都会向该方向靠拢，相同的两个数字相撞时会合并成一个新数字，这个数字是它们的和。在一次移动中，每个数字最多只能合并一次，优先合并靠近移动方向棋盘边缘的数字。
   以 $n=2,m=4$ 的情况举例如下（$0$ 表示该位置为空）：

    2 2 2 2
    2 2 0 2

向左移动后变为

    4 4 0 0
    4 2 0 0

每次合并后，将会获得一定的分数，获得的分数等于所有合并后数字相加之和。若无任何合并发生，则不得分。在上例中，得分为$12$。
移动前后，若棋盘上的所有数字大小和位置均没有变化，则不算做有效移动，否则即是有效移动。
4. 向棋盘放置数字的规则如下：只能选择棋盘上没有数字的位置放置一个数字，可以放置的数字和放置方法在每个子任务中会具体描述。
5. 游戏开始时棋盘为空，分数为 $0$。先由玩家 C 行动两步，接着玩家 $M$ 和 $C$ 轮流行动，中间的每一步都必须是有效的。当轮到玩家 $M$ 时，若不能够进行有效移动，则游戏结束，此时的得分为最终得分。

本题目为提交答案题，共有 10 个子任务需要你来完成。将你的答案写到 10 个文件中，分别命名为 $\texttt{game}x\texttt{.out}$，$x$ 表示子任务的编号（$0\sim 9$）。

子任务内无部分分，你可以得到该任务的分数当且仅当你的输出和标准答案完全相同。

十道难题如下:

难题0####

$n=1,m=2$。玩家 C 行动时可以放置 $2$ 或 $4$。
若用 $X$ 表示在一局游戏中玩家 $M$ 最多可以行动 $X$ 次，那么这个 $X$ 的最值是多少？
输出两行，第一行一个整数表示 $X$ 的最小值，第二行一个整数表示$X$的最大值。

难题1####

$n=10738029,m=921023$。玩家 C 行动时可以放置 $2$ 或 $4$。
若用 $S$ 表示棋盘上所有数字之和，请问 $S$ 的最大值是多少。因为这个值可能过大，只需要输出它除以 $10^9+7$ 的余数即可。

难题2####

$n=2,m=2$，玩家 C 行动时可以放置 $2$ 或 $4$。
用 $X$ 表示目标数字，$X$ 一定为 2 的正整数幂。
玩家 M 的目标是使盘面上出现大于等于数字 $X$ 的数，玩家 C 的目标是在盘面上出现数字 X 之前使游戏结束。
在两方均最优决策的情况下，求一个最大的 $X$，使得玩家 M 能达到自己的目标。

难题3####

$n=4,m=4$。玩家 C 行动时可以放置 $2$ 或 $4$。
输出两行，每行一个数字。
第一行的数字表示能达到的最大分数。
第二行的数字表示当数字总和达到最大时，分数的最小值。

难题4####

$n=7393,m=9133$。玩家 C 可以放置数字 $2$ 共 $6144$ 次。棋盘初始为空，初始分数为 $0$。

首先由玩家 C 连续行动，直到用完所有放置机会或中途主动放弃。

然后连续向上移动直到向上方向不能构成有效移动。

输出一行一个整数，表示最大得分。

难题5####

$n=7,m=233$。初始分数为 $0$，玩家 C 可以放置数字 $2$ 共 $233$ 次，数字 $4$ 共 $66$ 次。

棋盘第一行一开始有若干数字，第 $i$ 列的数字为 $2\mathrm{lowbit}(i)$，$\mathrm{lowbit}(i)$ 表示数字 $i$ 的二进制形式只取最后一个 $1$ 构成的数字。

如 $\mathrm{lowbit}(1)$ 至 $\mathrm{lowbit}(8)$ 分别为 $1,$ $2,$ $1,$ $4,$ $1,$ $2,$ $1,$ $8$。棋盘的其他位置均为空。

首先由玩家 C 连续行动，直到用完所有放置机会或中途主动放弃。

然后连续向上移动直到向上方向不能构成有效移动。输出一行一个整数，表示最大得分。

难题6####

$n=3,m=3$，玩家 $C$ 行动时可以放置 $2$ 或 $4$。
用 $X$ 表示目标数字，$X$一定为2的正整数幂。
玩家 M 的目标是使盘面上出现数字 $X$，玩家 C 的目标是在盘面上出现数字 $X$ 之前使游戏结束。
在两方均最优决策的情况下，输出一个最大的$X$，使得玩家 M 能达到自己的目标。

难题7####

$n=3,m=3$, 玩家 $C$ 行动时可以放置 $2$ 或 $4$。

玩家M的目标是让得分最大化，玩家$C$的目标是让得分最小化。

在两方均最优决策的情况下，输出一个整数，表示最终的分数。

难题8####

$n=3,m=3$, 玩家 $C$ 行动时，有 $90\%$ 的几率放置一个 $2$，$10\%$ 的几率放置一个 $4$，放置在各个空位的几率均等。

用 $X$ 表示目标数字，玩家 $M$ 的目标是使盘面上出现大于等于数字 $X$ 的数。

在玩家 $M$ 最优决策的情况下，输出一行，$9$ 个实数，四舍五入到小数点后 $2$ 位，用空格隔开，分别表示 $x=2,4,8,16,32,64,128,256,512$ 时，达成目标数字的概率。

难题9####

$n=3,m=3$, 玩家 $C$ 行动时，有 $90\%$ 的几率放置一个 $2$，$10\%$ 的几率放置一个 $4$，放置在各个空位的几率均等。

玩家 $M$ 的目标是让分数最大化。在玩家 $M$ 最优决策的情况下，输出一个实数，四舍五入保留整数，表示分数的期望值。

妹红虽然对 2048 有一定了解，但她并不能解决全部的问题，于是就交给了学 OI 的你。

输入格式

见题目描述

输出格式

见题目描述

数据范围与提示

如果对移动规则有疑惑，可以到 2048 网站进行尝试:

http://gabrielecirulli.github.io/2048/