注意事项

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• C++（标准为 C++ 14 及以上）

请在提交源代码前添加 #include "circuit.h"。

题目描述

有一个数字电路，由编号为从 $0$ 到 $N + M - 1$ 的 $N + M$ 个门组成。其中，$0$ 到 $N - 1$ 号门是阈值门，而 $N$ 到 $N + M - 1$ 号门是输入门。

除 $0$ 号门之外的每个门都是恰好一个某阈值门的输入。具体来说，对于每个满足 $1 \le i \le N + M - 1$ 的 $i$，门 $i$ 是门 $P[i]$ 的一个输入，其中 $0 \le P[i] \le N-1$。重要的是，我们保证 $P[i] \lt i$ 成立。此外，我们假设有 $P[0] = -1$。每个阈值门有一个或多个的输入。输入门没有任何输入。

每个门都有一个状态，取 $0$ 或 $1$。输入门的初始状态由一个包含 $M$ 个整数的数组 $A$ 给定。也就是说，对于每个满足 $0 \le j \le M - 1$ 的 $j$ ，输入门 $N + j$ 的初始状态为 $A[j]$。

每个阈值门的状态取决于它的输入的状态，具体如下。首先，每个阈值门会被指定一个阈值参数。对于一个有 $c$ 个输入的阈值门，其所指定的参数必须是 $1$ 到 $c$ 之间的某个整数（包括 $1$ 和 $c$）。随后，对于一个参数为 $p$ 的阈值门，如果它的输入中至少有 $p$ 个门的状态为 $1$，则当前阈值门的状态为 $1$，否则状态为 $0$。

例如，假设有 $N = 3$ 个阈值门和 $M = 4$ 个输入门。其中，门 $0$ 的输入为门 $1$ 和门 $6$，门 $1$ 的输入为门 $2$、$4$ 和$5$，门 $2$ 仅有的输入为门 $3$。

上述例子的说明可见下图。

假设输入门 $3$ 和 $5$ 的状态为 $1$，而门 $4$ 和 $6$ 的状态为 $0$。假设阈值门 $2$、$1$、$0$ 被指定的参数分别为 $1$、$2$、$2$。在这种情况下，门 $2$ 的状态为 $1$，门 $1$ 的状态为 $1$ ，门 $0$ 的状态为 $0$。下面给出了参数赋值以及状态的示意图。状态为 $1$ 的门被标记为黑色。

输入门的状态将会经历 $Q$ 次更新。每次更新用两个整数 $L$ 和 $R$ 来描述 ($N \le L \le R \le N + M - 1$) ，表示翻转所有编号在 $L$ 和 $R$ 之间（包括 $L$ 和 $R$）的输入门的状态。这就是说，对于所有满足 $L \le i \le R$ 的 $i$，输入门 $i$ 的状态如果为 $0$，则会被翻转为$1$；如果状态为 $1$，则会被翻转为 $0$。每个门被翻转后将会一直保持在新状态，直到在后续某次更新中被翻转。

你的目标是，计算每次更新后有多少种阈值门参数的赋值方案，使得门 $0$ 的状态为 $1$。当有至少一个阈值门的参数不同时，两种参数赋值方案被认为是不同的。由于方案数可能较大，你需要计算它对 $1\;000\;002\;022$ 取模的结果。

注意，在上面的例子中，共有 $6$ 种不同的对阈值门参数进行赋值的方案，因为门 $0$、$1$、$2$ 分别有 $2$、$3$、$1$ 个输入。在这 $6$ 种方案里面，有 $2$ 种参数赋值方案使得门 $0$ 的状态为 $1$。

实现细节

你的任务是实现下述两个函数。

void init(int N, int M, int[] P, int[] A)

• $N$： 阈值门的数量。
• $M$：输入门的数量。
• $P$： 一个长度为 $N + M$ 的数组，给出阈值门的输入。
• $A$： 一个长度为 $M$的数组，给出输入门的初始状态。
• 这个函数被调用恰好一次，且发生在函数 count_ways 的所有调用之前。

int count_ways(int L, int R)

• $L$, $R$：编号在 $L$ 和 $R$ 之间的输入门的状态将会被翻转。
• 这个函数应首先执行所规定的更新，然后返回使得门 $0$ 的状态为 $1$ 的参数赋值方案的方案数对 $1\;000\;002\;022$ 取模的结果。
• 这个函数会被调用恰好 $Q$ 次。

例子

考虑如下的函数调用序列：

init(3, 4, [-1, 0, 1, 2, 1, 1, 0], [1, 0, 1, 0])

题面描述中已经给出了对这个例子的解释。

count_ways(3, 4)

这次调用翻转了门 $3$ 和 $4$ 的状态，也就是说，门 $3$ 的状态变成 $0$，门 $4$ 的状态变成 $1$。下面给出了两种可行的参数赋值方案，可以使得门 $0$ 的状态为 $1$ 。

方案 $1$	方案 $2$

在所有其他的参数赋值方案中，门 $0$ 的状态为 $0$。因此，函数应返回 $2$。

count_ways(4, 5)

这次调用翻转了门 $4$ 和 $5$ 的状态。其结果是，所有输入门的状态均为 $0$，而且对于所有的参数赋值方案，门 $0$ 的状态均为 $0$。因此，函数应返回 $0$。

count_ways(3, 6)

这次调用将所有输入门的状态置为 $1$。其结果是，对于所有参数赋值方案，门 $0$ 的状态均为 $1$。因此，函数应返回 $6$。

约束条件

• $1 \le N, M \le 10^5$；
• $1 \le Q \le 10^5$；
• $P[0] = -1$；
• $0 \le P[i] \lt i$ 且 $P[i] \le N - 1$（对于所有满足 $1 \le i \le N + M - 1$ 的 $i$）；
• 每个阈值门至少有一个输入（对于所有满足 $0 \le i \le N - 1$ 的 $i$，存在某个下标 $x$ 满足 $i \lt x \le N + M - 1$ 且 $P[x] = i$）；
• $0 \le A[j] \le 1$（对于所有满足 $0 \le j \le M - 1$的 $j$）；
• $N \le L \le R \le N + M - 1$。

子任务

1. （2 分）$N = 1$，$M \le 1000$，$Q \le 5$；
2. （7 分）$N, M \le 1000$，$Q \le 5$，每个阈值门都有恰好两个输入；
3. （9 分）$N, M \le 1000$，$Q \le 5$；
4. （4 分）$M = N + 1$，$M = 2^z$（对于某个正整数 $z$）， $P[i] = \lfloor\frac{i - 1}{2}\rfloor$（对于所有满足 $1 \le i \le N + M - 1$ 的 $i$），$L = R$；
5. （12 分）$M = N + 1$，$M = 2^z$（对于某个正整数 $z$），$P[i] = \lfloor\frac{i - 1}{2}\rfloor$（对于所有满足$1 \le i \le N + M - 1$的 $i$）；
6. （27 分）每个阈值门都恰好有两个输入；
7. （28 分）$N, M \le 5000$；
8. （11 分）没有额外的约束条件。

评测程序示例

评测程序示例读取如下格式的输入：

• 第 $1$ 行： $N \; M \; Q$；
• 第 $2$ 行： $P[0] \; P[1] \; \ldots \; P[N + M - 1]$；
• 第 $3$ 行： $A[0] \; A[1] \; \ldots \; A[M - 1]$；
• 第 $4 + k$ 行（$0 \le k \le Q - 1$）： 第 $k$ 次更新对应的 $L \; R$。

评测程序示例按照如下格式打印你的答案：

• 第 $1 + k$ 行（$0 \le k \le Q - 1$）： count_ways 函数对第 $k$ 次更新的返回值。

约定

题面在给出函数接口时，会使用一般性的类型名称 void、bool、int、int[]（数组）和 union(bool, int[])。

在 C++ 中，评测程序会采用适当的数据类型或实现，如下表所示：

void	bool	int	int[]
void	bool	int	std::vector<int>

union(bool, int[])	数组 a 的长度
std::variant<bool, std::vector<int>>	a.size()

C++ 语言里，std::variant 定义在 <variant> 头文件中。 一个返回类型为 std::variant<bool, std::vector<int>> 的函数可以返回一个 bool 或一个 std::vector<int>。 以下示例代码给出了三个返回 std::variant 的函数，它们都能正常工作：

std::variant<bool, std::vector<int>> foo(int N) {
    return N % 2 == 0;
}

std::variant<bool, std::vector<int>> goo(int N) {
    return std::vector<int>(N, 0);
}

std::variant<bool, std::vector<int>> hoo(int N) {
    if (N % 2 == 0) {
        return false;
    }

    return std::vector<int>(N, 0);
}