loj#P2547. 「JSOI2018」防御网络

「JSOI2018」防御网络

题目描述

虽然成功得到了外星人的进攻计划,但 JYY 意外地发现,外星母舰对地球的攻击竟然是随机的!必须尽快在地球上部署防御网络,抵御外星人母舰的攻击。
地球上的防御网络由节点和节点之间的能量连接组成,防御网络可以看成是一个 nn 个点、 mm 条边的简单无向图 G(V,E)G(V,E) ,每个防御节点对应 VV 中的一个节点、每个能量连接对应 EE 中的一条边。此外,在防御网络修建时考虑到能量传输效率,防御网络 GG每个节点至多只包含在一个简单环中
外星母舰的攻击是随机的,每次攻击开始后, JYY 都会本次攻击的情况选择一些防御节点 SVS\subseteq V ,并且用能量连接将这些防御节点连通,从而启动一个防御子网络。换言之, JYY 会选择 GG 中边集的一个子集 H(S)EH(S)\subseteq E ,它满足:

  1. (防御子网络连通) 如果我们建立新图 G(V,H(S))G'(V,H(S)) ,即用 H(S)H(S) 中的边连接 GG 中的节点,则对于任意选择的防御节点 x,ySx,y\in S ,它们在 GG' 中都连通。
  2. (防御子网络最小) 在满足条件 1 (防御子网络连通)的前提,选取的边数最小,即 H(S)\vert H(S)\vert 最小。

H(S)H(S) 是点集 SS 在图 GG 生成的斯坦纳树 (Steiner Tree) ,而 H(S)\vert H(S)\vert 则是启动防御子网络的最小代价。考虑到外星母舰随机攻击的方式, JYY 希望你计算启动防御子网络代价的期望:

$$\frac{1}{2^{\vert V\vert}}\sum_{S\subseteq V}\vert H(S)\vert $$

输入格式

输入第一行两个整数 n,mn,m ,分别表示图中的节点数和边数。
接下来 mm 行,每行两个整数 u,v(1u,vn)u,v(1\le u,v\le n) ,表示图中的一条边。输入保证没有自环和重边,并且满足每个节点至多包含在一个简单环中。

输出格式

输出一行,表示启动防御子网络的期望。
假设期望写成最简分式 P/QP/Q 的形式, 则输出 PQ1mod1,000,000,007P\cdot Q^{-1} \bmod 1,000,000,007 的余数,其中 Q1Q^{-1} 为唯一的满足 QQ11(mod1,000,000,007)Q\cdot Q^{-1} \equiv 1 \pmod{1,000,000,007} 的整数。

3 2
1 2
2 3
750000006
6 6
1 2
2 3
3 1
1 4
2 5
3 6
468750006

数据范围与提示

对于 20%20\% 的数据,有 1n81\le n\le 8
对于 40%40\% 的数据,有 1n201\le n\le 20
对于 100%100\% 的数据,有 1n2001\le n\le 200